第四节 导数与微分的概念

「导数」定义

增量式
增量式 定义变量广义化
函数差值式
增量式和差值式的转化	用换元法将 $\mathrm{\Delta }x$ 与 $x-x_0$ 互换

「导数」导数定义的等价形式

计算常用	${\displaystyle f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$
证明常用	${\displaystyle f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

「导数」存在定理（充要条件）

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件

• 其左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 与右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 均存在且相等，这一点与极限存在的充分必要条件（左、右极限均存在且相等）对应

「导数」不存在的情况

$y=|x|$
$y=x^{\frac{1}{3}}$

「导数」高阶导数的概念

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「微分」定义

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「微分」概念

「可微」充要条件

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「可微」判别的步骤

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「可微」含义

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「导数」几何意义

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「微分」几何意义

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「连续、可微、可导」关系图

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「连续、存在、邻域可导」关系

邻域可导与连续、存在的关系 | n 阶可导与洛必达的关系

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