第十三节 常微分方程

「概念」微分方程

微分方程
定义	含有未知函数的导数或微分的方程 $y^{\prime }=2x$ $dy=2xdx$
阶	未知函数最高阶导数的阶数 $y^{″}+y^{\prime }=e^x$
解	满足微分方程的函数 $y=x^2+c$
通解	微分方程的解中独立常数的个数等于微分方程的阶数，称为通解。 常数 $c$ 为一定范围内取任意值的常数（比如 $c>0$）
特解	不含任意常数的解
初始条件	确定通解中常数（特解）的条件。 确定了通解的常数后，通解就变成了特解
积分曲线	方程的一个解在平面上对应一条曲线

「一阶」 变量可分离型

• 把 $x$ 与 $x$ 放在一起，$y$ 和 $y$ 放在一起，求解方法是两端积分。

变量可分离型方程 举例

• 在解微分方程的时候，可能会丢掉一些解，比如这题中的 $y=0$ ，这些丢掉的解能捡回来尽量捡回来 （c 取一些特殊值）。
• 注意事项
  • 通解 $\ne$ 全部解
  • 通解 + 奇解（考研超纲）$=$ 全部解
  • 在线性方程中：通解 $=$ 全部解

「一阶」可化为变量可分离型 y' = f(ax + by + c)

• 换元之后，两端对 $x$ 求导，转换成变量可分离型，将 $x$，$y$ 归类，两端积分

可化为变量可分离型 举例

• 奇解（考研不考，超纲）
  • 

「一阶」可化为变量可分离型 齐次方程

例题 可化为变量可分离型 齐次方程

「一阶」 线性方程

• $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 两端同乘 ${\displaystyle e^{\int P(x)dx}}$（积分因子），${\displaystyle \frac{dy}{dx}=u+x\frac{dy}{dx}=\phi (u)}$
• 解法：使用 公式：
  • 一阶线性非齐次通解 ${\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]}$
  • 一阶线性齐次通解，特别 $Q(x)=0$ 时，有 ${\displaystyle y=C{e}^{-\int P(x)dx}}$

注意事项

• 线性方程中求出来的通解一定是全部解
• 在线性方程中使用公式法，$e^{-\int P(x)dx}=|\phi (x)|$ 可以不加绝对值 ，因为正负号相消
  • 

公式是如何计算出来的？

「一阶」 伯努利方程

• $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)·y^n(n\ne 0,n\ne 1)$

伯努利方程转化为线性方程的过程

注意事项

• $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)·y^n(n\ne 0,n\ne 1)$
  • 当 $n=0$ 时，方程变为一阶线性方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$
  • 当 $n=1$ 时，方程变为一阶变量可分离方程
    • $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)·y\Rightarrow y^{\prime }=(Q(x)-P(x))y$

「一阶」 全微分方程

• 偏微分
• 凑微分
• 线积分

「二阶 > 一阶」可降阶 y‘’ = f(x, y')（缺 y）

• 把 $y$ 全部换掉，赶尽杀绝

例题 缺 $y$ 可降阶方程

• ex1
• ex2
• ex3

「二阶 > 一阶」可降阶 y‘’ = f(y, y')（缺 x）⭐️

• 对 $x$ 斩草除根

缺 $x$ 的可降阶方程例题

• ex1
• ex2

「高阶」变系数、常系数方程

二阶变系数线性微分方程		$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$
齐次方程	$f(x)\equiv 0$	$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$
非齐次方程	$f(x)\not\equiv 0$	$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$

二阶常系数线性微分方程		$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$
齐次方程	$f(x)\equiv 0$	$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$
非齐次方程	$f(x)\not\equiv 0$	$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

「高阶」通解及特解公式

方程	解的公式
齐次方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$	通解： $y(x)=C_1{y}_1(x)[\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{特}\mathrm{解}]+C_2{y}_2(x)[\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{特}\mathrm{解}]$ 两个线性无关的齐次特解之和
非齐次方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$	通解： $y(x)[\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{通}\mathrm{解}]+y^{\ast }(x)[\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{特}\mathrm{解}]$ 非齐次的一个特解与两个线性无关齐次特解之和
两个非齐次方程之和 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$ 分别是方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)$ $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$ 的特解	特解之和仍为特解： $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 两个非齐次方程的特解之和

「高阶 & 二阶」常系数齐次 通解与特征根 ⭐️

二阶常系数齐次线性微分方程的通解 对于 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 特征方程为 $r^2+pr+q=0$ 求特征根	特征根	通解
$p^2-4q>0(b^2-4ac)$	不等实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$p^2-4q=0(b^2-4ac)$	相等实根 $r_1=r_2$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
$p^2-4q<0(b^2-4ac)$	共轭复根 ${\displaystyle r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{4q-p^2}i}{2}}$ $r_1=\alpha +\beta i$ $r_2=\alpha -\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

齐次通解 不等实根

• ex1

齐次通解 相等实根

• ex1

齐次通解 共轭复根

• ex1

• ex2

「高阶 & 二阶」常系数非齐次 特解与特征根

自由项	$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P_n(x)e^{\alpha x}$ $f_1(x)=y^{″}+p{y}^{\prime }+qy$	$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$ $f_2(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$ --- $P_m(x)$ 是 $x$ 的 $m$ 次多项式 $P_n(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 次多项式
特解	$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$	$y^{\ast }=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)sin\beta x]x^k$
求解步骤	$k$ 是特征方程$\alpha$ （与特征方程中计算出来的根 ${\lambda }_1、{\lambda }_2$ 作比较）的重复次数	--- 1. 当$\alpha +\beta i$ 不是齐次方程$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的齐次特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的特征根时，$k=0$ 2. 当$\alpha +\beta i$ 是齐次方程$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的齐次特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的特征根时，$k=1$

$l=max\{m,n\}$	$P_m(x)$	$P_n(x)$	$Q_l^{(1)}$	$Q_l^{(2)}$
$P_m(x)$与$P_n(x)$取最高次幂	$2x$	$2$	$a_{1}x+b_1$	$a_{2}x+b_2$
	$2x^2+1$	$2$	$a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$	$a_1{x}^2+b_{2}x+c_2$

$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P_n(x)e^{\alpha x}$ 型 特解及通解的求法

• 左侧理论，右侧例题

自由项 $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$ 型 特解及通解的求法

• 左侧理论，右侧例题

综合例题 $f_1(x)+f_2(x)=P_n(x)e^{\alpha x}+e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$ 型

「高阶」常系数齐次 通解与特征根

n 阶常系数齐次线性微分方程 $y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$ 求 $r^{(n)}+p_1{r}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}r+p_n=0$ 的特征根	微分方程通解
(1)特征根为单实根 $r$	$C{e}^{rx}$
(2)特征根为 $k$ 重实根 $r$	$k$ 项 $(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})e^{rx}$
(3)特征根为单复根 $\alpha \pm \beta i(\beta >0)$	$e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$
(4)特征根为 $k$ 重复根 $\alpha \pm \beta i(\beta >0)$ （太复杂，考研不太可能会考）	$2k$ 项 $e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})cos\beta x+(D_1+D_{2}x+\cdots +D_k{x}^{k-1})sin\beta x]$

「例题」常系数齐次线性微分方程 通解应用

「高阶」欧拉方程 非重点

欧拉方程	$x^n{y}^n+p_1{x}^{n-1}{y}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}x{y}^1+p_{n}y=f(x)$ $(p_1\cdots p_n)$为常数
解法	令 $x=e^t$ 或 $t=lnx$ 将欧拉方程转化为常系数线性方程，有 $x^k{y}^k=D(D-1)\cdots (D-k+1)y$，$D=r$， $D$ 代表对 $t$ 求导数

例题 欧拉方程 转化为 常系数线性方程