Skip to content

第二章 矩阵

第一节 矩阵的基本运算

「矩阵」定义

image.png

「矩阵」加法的定义

image.png

「矩阵」数乘的定义

「矩阵」乘法的定义

image.png

「矩阵乘法」满足结合律和分配律

    • (AB)C=A(BC)
    • A(B+C)=AB+AC
    • (B+C)A=BA+CA

「矩阵乘法」不满足交换律

  • 即在一般情况下 ABBA
  • image.png

「矩阵乘法」不满足消去律

  • 即在一般情况下 AB=ACAOB=C
  • image.png

「矩阵乘法」消去律的充分条件

  • image.png

「矩阵」转置的定义

  • 矩阵 A 行列互换的得到的矩阵,成为 A 的转置矩阵,记作 AT

「矩阵」转置的性质

image.png

「矩阵」对称、反对称矩阵的定义

image.png

第二节 矩阵的逆

「矩阵的逆」逆的定义

image.png

「矩阵的逆」逆的性质

image.png

「矩阵的逆」可逆的充要条件

image.png

「矩阵的逆」逆的求法

image.png

第三节 矩阵的秩

「矩阵的秩」k阶子式的定义

image.png

「矩阵的秩」秩的定义

image.png

「矩阵的秩」二阶矩阵求逆

  • 主对调,副变号
  • image.png

「矩阵的秩」满秩的定义

image.pngimage.png

「矩阵的秩」秩的性质(9条)

  • 口诀:单加积联常,逆满转积和

image.png

「矩阵的秩 & ⭐️」秩的求法

  • A 为数字矩阵

    • A初等行变换,化为行阶梯型矩阵,则 r(A) 等于行阶梯型矩阵中非零行的行数
    • 行阶梯型矩阵:每行第一位非 0 的数,下面的元素均为 0
    • image.png
  • A 为抽象矩阵

    • 利用秩的定义或性质

第四节 伴随矩阵

「伴随矩阵」定义

image.png

「伴随矩阵」性质

image.pngimage.png

第五节 初等变换和初等矩阵

「初等变换和初等矩阵」初等变换的定义

image.png

「初等变化和初等矩阵」初等矩阵的定义

  • 单位矩阵 E 经过一次初等变化所得到的矩阵为初等矩阵
  • image.png

「初等变化和初等矩阵」性质

image.png

「初等变化和初等矩阵」应用

image.png

「矩阵等价」定义

  • 若矩阵 A 可以经过有限次初等变换变为矩阵 B,则称 A 与 B 等价,记作 AB

「矩阵等价」充要条件

image.png

第六节 分块矩阵

「分块矩阵」加法

image.png

「分块矩阵」数乘

image.png

「分块矩阵」乘法

image.pngimage.png

「分块矩阵」转置

image.png

「分块矩阵」逆

image.png

「分块矩阵」逆的推广(150)

image.png